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らぷてふ
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らぷてふ
1年間のお小遣いの受け取り方として最も有利なのはどれか。またその案の1年貰える額の期待値を求めよ
A案。毎月2000円と毎月サイコロを3つ振ってゾロ目なら＋3万6000円受け取る
B案。サイコロを毎月1回振り1か6なら1回振り直し最終結果が1から4なら2000円5から6なら6000円受け取る
c案。1月から4月まではサイコロを2つ振りその2つの和×1000円5月から12月は毎月1000円受け取る
らぷてふ
a「私よりcちゃんが可愛い！！」
b「aちゃんよりdちゃんが可愛い！！」
c『aよりbの方が可愛くないよ』
d『私は2番目に可愛い』
1人だけ反対のことを言っている。(2番目に可愛い▶︎下から2番目)(aよりbがかわいい▶︎bよりaがかわいい)(
そうするとabcdの可愛さの大小が全てはっきりしてる時の反対のことを言っている1人は誰か。また4人の可愛さの大小を書け
これ解釈の仕方が複数ある
1らぷてふ
a.b.c.dの4つの重りがある
a+b+c＝196g
b+c+d＝201g
c+d+a＝164g
d+a+b＝183g
問題ア
a+b+c+dの値を求めよ
問題イ
a.b.c.d.の各値を求めよ！
42らぷてふ
?に入るのはxにはならないのでご注意ください⚠️
(√x)²ならxになります
らぷてふ
1
n回だけ出る確率はあたりがn回以上出る確率（1-100cn-1x100分の99^101-nx
た100分の1^nー1）一当たりがn＋1回以上でる確率
n回だけ出る確率はあたりがn回以上出る確率（1-100cn-1x100分の99^101-nx
た100分の1^nー1）一当たりがn＋1回以上でる確率になるんですけどもっとまとめられないかなって
100cn 100分の1^n 100分の99^100－n
100c1 100分の1 100分の99の99
n＝1の時1回以上あたる確率は1-100分の99^100
n＝2の時（1-100c1×100分の99^99×100分の1）
なので(1)はあたりがn回以上出る確率は（1-100c(n-1)×100分の99^(101-n)×100分の1^(nー1)とわかるんですが
(2)のn回でる確率は(1)であたりがn回以上出る確率の （1-100c(n-1)×100分の99^(101-n)×100分の1^(nー1))マイナスn＋1回以上でる確率ってやると式が長くなってしまうので
わかりやすくいうと2回以上でる確率から3回以上でる確率を引くと2回でる確率になるといいことです
nに1を代入した場合
1－100c0×100分の99の100乗×100分の1の0乗で
1－100分の99の100乗でn＝1はまず成り立ちます
次にnに2を代入した場合1－100c1×100分の99の99乗×100分の1の1乗で成り立ちます
2回以上あたる確率の余事象は1回しか当たらない確率なので
1－1回しか当たらない確率なので(1)はあたりが2回以上出る確率は（1-100c1×100分の99^99×100分の1とわかるんですが...
1らぷてふ
また当たりは無限にあるとする
(1)n回以上あたる確率を求めよ
(2)n回だけあたる確率を求めよ
らぷてふ
121の10乗の下4桁を求めよ
解説
121のn乗は11の2n乗なので
11の20乗と変換できる
(1＋10)の20乗となり
1の20乗＋20c1×10＋20c2×10の2乗＋20c3×10の3乗＋20cn×10のn乗...
🟰1＋200＋19000＋1140000＋20cn×10のn乗で下4桁を求められてるので
4項以降はいらないので計算して
9201となる。
らぷてふ
解説
1回振った期待値は3.5なので3以下なら振り直し4以上なら振り直さない。
3以下の振り直す場合をまず求める
そうすると結果的に1の目から6の目がそれぞれ3つずつになる。
3以下の場合は2回振っているので36通り、4以上の場合は1回しか振っていないので6通りなので
求める期待値は
1×36分の3＋2×36分の3＋3×36分の3＋4×36分の3＋5×36分の3＋6×36分の3＋4×6分の1＋5×6分の1＋6×6分の1になり結果4分の17になる
値が高いほど点数が高いゲームがある1から6が書かれた6面サイコロを1回振り望まないなら最大2回振り直してもいい場合もっとも値が高くなる期待値を求めよ。
解説
今回は最大2回振り直せる。
1回の期待値が3.5なので3以下は振り直す4以上は振り直さないのは同じ。
まず1回も振り直さない場合は最初が4以上の時の
4×6分の1＋5×6分の1＋6×6分の1である。
次に1回だけ振り直す場合は
最初に1から3がでたかつ2回目で4から6が出た場合なので14.15.16.24.25.26.34.35.36の9通りあり
結果的に4.5.6.になるのはそれぞれ3通りずつあるため、4×36分の3、5×36分の3、6×36分の3になる
次に2回振り直す場合は最初が1から3かつ1回振り直した時も1から3の場合なので
結果1になるのが111.121.131.211.221.231.311.321.331の9つで
法則性より結果1から6になるやつが9つあるので
1×216分の9＋2×216分の9＋3×216分の9＋4×216分の9＋5×216分の9＋6×216分の9より
1回も振り直さない、1回振り直す、2回振り直す式を全部計算すると8分の37になる。(4.625)
1らぷてふ
aaaaab180通り
aaaabb450通り
aaaabc1800通り
aaabbb300通り
aaabbc2400通り
aaabcd7200通り
aabbcc1800通り
aabbcd21000通り
aabcde10800通り
abcdef720通り
aaaaa6通り1
aaaab150通り
aaabb300通り1
aaabc1200通り
aabbc1800通り
aabcd3600通り
abcde720通り
aaaa6通り
aaab120通り
aabb90通り
abcd360通り
aabc720通り
aaa6通り
aab90通り
abc120通り
aa6通り
ab30通り
1らぷてふ
当たり2本、はずれ5本のくじがある。まずaさんが1本引き、次にbさんが1本引く。
その結果を本人があなたに教えるが、aさんは30%、bさんは90%の確率で反対なことを言う
※あたりならはずれと言われ、はずれならあたりと言われる
（問）
結果を知らされた後に１回のみ好きな人数をやり直しさせていいとする。元々引いてたくじは元に戻さず残り5本から引く。
ただし得点の期待値を最大化させるための合理的な引き直しを指示されている。
その時の最終的なaさんとbさんの当たり本数合計の期待値の最大値を求めよ。
らぷてふ
bさんは8個のボールを3つの箱に入れる。
ただしなぜかbさんは空の箱を作りやすく空の箱を含む分け方の確率は70%、空の箱がないように分けられる確率は30%とする
難易度★
(1)区別のないボールを区別のある3つの箱に入れられた時に(0.3.5)の集合になる確率を求めよ(空の箱があるかはわかっていない)
難易度★★
(2)区別のあるボールを区別のある3つの横一列になった箱に入れられた時に左の箱から順に(0.3.5)になる確率を求めよ(空の箱があるかはわかっていない)
難易度★★★★★
(3)1回目に分けた時aさんはランダムに1つの箱選びなにも入っていなければbさんは1回だけ分け直してまたaさんはランダムに1つの箱をみる。
最終的に見たやつで空箱ではない確率を求めよ(空箱がある集合なのかはわかっていないのとボールも箱も区別ないものだとする)
難易度⭐️
(4)ボールの個数が多いほど点数が高いゲームがある。1回目、bさんが箱に分けaさんは箱をみた時気に入らなないといえば1回のみbさんはわけ直して箱を選び直せる時、値が最大になるように思考した時最終的に見た中身のボールをもらえるとしてaさんがもらえる個数の期待値求めよ(ボールも箱も区別ないものだとする)
らぷてふ
難易度★★★★
1つ目の鍵(プラスorマイナス)と2つ目の鍵(プラスorマイナス)の2つがある
ある箱はタップ式の鍵がお互いプラスだと開く
ただしあげる側は1タップでプラスをマイナスに。マイナスをプラスに変えられるが内容はわからない。1つ目の鍵をタップする確率40パーセント、2つ目の鍵をタップする確率30パーセント、どっちも同時にタップする確率30パーセントだとする。
この時開ける方はタップを2回行い2回終わった後箱があけられるか確認する
少しでもあけられないようにするには最初どういう状態で鍵を用意するべきか
またそれぞれの確率求めよ
1つ目の鍵(プラスorマイナス)と2つ目の鍵(プラスorマイナス)の2つがある
ある箱はタップ式の鍵がお互いプラスだと開く
ただしあげる側は1タップでプラスをマイナスに。
マイナスをプラスに変えられるが内容はわからない。
1つ目の鍵をタップする確率50%
2つ目の鍵をタップする確率30%
どっちも同時にタップする確率20%だとする。
この時開ける方はタップを2回行い2回終わった後箱があけられるか確認する
少しでもあけられないようにするには最初どういう状態で鍵を用意するべきか
またそれぞれの確率求めよ
解説
1つ目の鍵をx、2つ目の鍵をyとする
問題文より
x押される確率は50%
yは30%
xyは20%
今回は2回押されるので
①x+x▶︎25%(0.5×0.5)
②x+y▶︎15%
③x+xy▶︎10%
④y+y▶︎9%
⑤y+x▶︎15%
⑥y+xy▶︎6%
⑦xy+x▶︎10%
⑧xy+y▶︎6%
⑨xy+xy▶︎4%
となる
次に作成者側は
++、+－、－+、－－の4通りをセットできる
++になったら開くのであかないようにしたい
※開ける人は2回押すまで空いてるか確認できない
++の場合
結果的に++になるのは同じもの2回押された時になる。
すなわち①④⑨になるので
25%+9%+4%であけられる確率は38%になる
すなわちあけられない確率は62%
+－の場合
結果的に++になる場合は
x側が1回押されて両方おされる場合
順番はどちらでもいいので
③と⑦になる
すなわち開けられる確率は20%
あけられない確率は80%となる
－+の場合
y側が1回押されて両方おされる場合
⑥と⑧より12%あけられる
88%あけられない
－－の場合
xとy1回ずつの場合なので
②と⑤になる
すなわち30%あけられる
70%あけられない
以上の4つの結果から
－+に設定するのが1番最適
またあけられない確率は88%
らぷてふ
区間 [0,1] で一様にランダムに選ばれる実数 X に対して、点 (X, X^2) をとる。
原点 O(0,0)、点 A(1,0)、およびこの点 (X, X^2) を結んでできる図形 OAX の面積を S とする。
このとき、面積 S の期待値 E[S] を求めよ
解説
区間 [0,1] の中から ランダムに xをひとつ選ぶ。
例えば x=0.2 だったり 0.87 だったり。
すると点
P = (x x^2)
が決まる。
これを原点 O(0,0) と、点 A(1,0) と結んで三角形 OAP ができる。
その三角形の面積 S の平均値（期待値）を求めたい。
三角形の面積は底辺 × 高さ ÷ 2。
ここでは
O と A を結んだ線 → x 軸上なので 底辺 = 1
点 P=(x,x^2) の高さ → x 軸からの高さ = x²
だから三角形の面積は
S = 1/2×1×x^2で1/2(x^2
期待値＝「その値が平均的にどうなるか」
例えば
X=0.2 のとき S=0.5×0.04=0.02
X=0.5 のとき S=0.5×0.25=0.125
X=1 のとき S=0.5
これらを X をたくさんランダムに取ったときの 平均 を求めるのが期待値。
期待値 E[S] は
E[S] = E 1/2(x^2)
E[S] = 1/2 E(x^2)
E(x^2) = インテグラル0から1のx^2dx
これは「0〜1 の間で X² がとる値の平均」を表している。
積分すると
1/3
E[S] = 1/2×1/3で1/6
なぜ積分するのか⬇️
0,1区間 のどこも同じ確率で選ばれる＝一様分布
だから平均を計算するとき積分になる
2らぷてふ
問題文軽く見たら解説みてまた問題文を見に来るのおすすめ！
3から4人の人がそれぞれ１個ずつプレゼントを用意し、各人が１個ずつプレゼントをもらう(プレゼント交換)。ただし3人になる確率、4人になる確率は共に1/2だとする。
完全順列(!n)の何通りあるかの期待値を求めよ
今回の完全順列とはなにを表すか
結論自分が用意したものが自分にかえって来ない配り方‼️
例えばa.b.cの3人がそれぞれx.y.zのプレゼントを用意する
交換終わった後に
aから順にx.y.zが返ってきた場合自分が用意した物がそれぞれ自分のもとへ帰ってきてしまうから完全順列に当てはまらない！
(z.y.x)の場合もyがだめ
(z.x.y)はok！
実は完全順列の公式があります！
完全順列は！nと表されます！階数の反対にビックリマークつく！
以外と知られてない完全順列の公式
!n = (n-1)｛ !(n-1) + !(n-2) ｝
これは !1=0, !2=1 ▶︎①を使えば全部求まる！
3人の場合は公式より
!3＝2(!2+!1)▶︎②。
になり①より2になる
4人の場合は公式より
3(!3+!2)になり①②より9になる
今回は通り数の期待値なので
互いに確率が1/2なので
2分の(2+9)で5.5通りが答えになる
2らぷてふ
29らぷてふ
52らぷてふ
28らぷてふ
てんぱずるとは⬇️
4つの数字を四則演算で10にする
例えば2143の4つなら4かける3まいなす2かける1で10みたいに！
3らぷてふ
2の100乗まで書いては暗記してた
4らぷてふ
君の誕生日の日にちはなんのグループにはいってる？ときいて左上の数字を足すだけ
例えば23日生まれならacdeにはいってる！と報告しacdeの左上の数字足すと23だから23ってわかる
2らぷてふ
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