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fumi

fumi

一直線に並んだ無限匹の鳩が前から順に、無限個の鳩の巣のどれか選んで入っていく。
巣の中でも、鳩は入ってきた順に並んだままになっているとする。
鳩が全員巣に入り終えたとき、いずれかの鳩の巣に「特定の並び」があるだろうか?

という問題を1週間くらい、数学的にかなり真剣に考え続けているが、
状況がバカすぎて数学知らん人に言うと精神科を勧められる。
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コメント

LK

LK

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無限匹が入り終えるというのはどういうことですか?

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fumi
fumi
最初に並んでいたそれぞれの鳩が、いずれかの巣に入っている状態になっていることを指します。 例えば鳩も巣も自然数で番号づけられているとき、「奇数番目の鳩は10番目の巣に、偶数番目の鳩は51番目の巣に入ってる状態」は鳩が巣に入り終えた状態です。
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あき

あき

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最初の並びにその内のあるところから無限に続く周期構造があれば、新しくつくる無限個の並びのうち少なくとも一つは元の並びと同じになってそう。逆に最初の並びに全く周期構造がなければ難しいのかなぁ。なんだか有理数と無理数みたいだけど。

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ゆうすけ

ゆうすけ

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特定の並び、の定義が知りたいです。 こういうことをぐだぐだ考えるのとてもすきです

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LK

LK

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ヒルベルトホテルの問題を思い出したらまぁなんとなくは理解しましたが(多分)、 「特定の並び方」というのはあらゆる規則を検討したうちの一つ、例えば全て素数である、のような規則がいずれかの巣に存在するか、ということで良いですか?

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fumi
fumi
厳密なステートメントを書くと、「全順序集合(A,<)を基数κ個に分割したとき、分割方法に関わらず少なくとも1つは全順序集合(B,≪)が埋め込み可能か?」という問になります。 (A,<)が最初の一直線に並んだ鳩、分割が鳩の巣で、特定の順序(B,≪)がいずれかの分割された集合(鳩の巣)に埋め込まれるかを考えます。 例えば(A,<)と(B,≪)をどちらも有理数全体、κを2としたとき、「有理数全体を2つの集合に分けたとき、どちらか片方に有理数全体と同じ形の順序が入っているか?」という問いになります。
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fumi

fumi 投稿者

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例えば最初に鳩がω_1っていう並び方をしてるとき、全ての鳩が巣に入り終えるとどこかの巣には鳩がω_1の並びになってる。 いつでもそうなるわけじゃなくて、例えば最初に鳩がω_ωの順に並んでると、どの巣もω_ωで並ばないようにできる。 ω_1みたいな最初の並びが少なくとも1つの巣に現れるような最初の並びはどんな条件をもつか?みたいな問題面白そうじゃないですか?面白くない…?そっすか…。

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一直線に並んだ無限匹の鳩が前から順に、無限個の鳩の巣のどれか選んで入っていく。