最初に並んでいたそれぞれの鳩が、いずれかの巣に入っている状態になっていることを指します。 例えば鳩も巣も自然数で番号づけられているとき、「奇数番目の鳩は10番目の巣に、偶数番目の鳩は51番目の巣に入ってる状態」は鳩が巣に入り終えた状態です。

厳密なステートメントを書くと、「全順序集合(A,<)を基数κ個に分割したとき、分割方法に関わらず少なくとも1つは全順序集合(B,≪)が埋め込み可能か？」という問になります。 (A,<)が最初の一直線に並んだ鳩、分割が鳩の巣で、特定の順序(B,≪)がいずれかの分割された集合(鳩の巣)に埋め込まれるかを考えます。 例えば(A,<)と(B,≪)をどちらも有理数全体、κを2としたとき、「有理数全体を2つの集合に分けたとき、どちらか片方に有理数全体と同じ形の順序が入っているか？」という問いになります。

@fumi ： 私は全順序集合の分割や埋め込みというものを知らないのですが、無限集合の分割に有限集合が含まれていれば成り立たないんじゃないですか？

よく考えたらステートメントがよくわかりません。要は分割のうち少なくとも一つは何らかの全順序が定義可能であることを示したいのですか？

@Ruby ： 定義可能というか埋め込みですね。 全順序Aをκ個に分割すると、それぞれはまた全順序になるわけですが、そのうち1つがBを部分にもつ(埋め込める)ほど大きくなるか？という問題です。

@fumi ： なるほど？ちゃんと理解したくて、もう少し教えてもらえますか？ AとBは集合としてどう言う関係ですか？また<と≪の定義は？

@Ruby ： (A,<)と(B,≪)は一般の全順序集合なので、自由に決めて問題ないです。 例えば、(A,<)が実数で(B,≪)が有理数、κ=2、などと指定することで1つの問題となります。

@fumi ： ではAは実数、Bは集合を要素に持つようなもので<は数の比較、≪は集合の比較でもいいのですか？

@Ruby ： そのような問題も考えられます。Bで≪が全順序である必要がありますが。

@fumi ： この場合は成り立たないと言う理解でいいですか？

@Ruby ： Bがどのような集合を元にもつか、Bの元をどのように比較するかによりますね。

@fumi ： すみません、埋め込みの定義を教えていただけますか？

@Ruby ： 写像fが順序集合(A,<)から(B,≪)の埋め込みであるとは、 fがAからBへの単射な写像であり、x<yであることとf(x)≪f(y)であることが同値となる ことです。 例えば(A,<)が自然数、(B,≪)が0以上1未満の実数として、f(x)=1-1/xとすると、fは(A,<)から(B,≪)への埋め込みとなります。

@fumi ： なるほど、理解しました。色々とありがとうございました