nについての数列の極限 lim_{n → ∞} (log n)/n をnを実数xに置き換えて実数上の関数の極限とみなして云々みたいなことをしたいのですが、これって実数体が非可算だから収束列の部分列が同じ値に収束するみたいな議論ができない気がしていて、どうしたら正当化できますか?