関数fの変化における倍率ζの考察｜GRAVITY(グラビティ) SNS

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しーーーーーた

2022/09/28

xを変数とする関数f(x)に対して、x=pから、tだけ離れた値x=p+tを考える。
f(p+t)がf(p)の何倍になってるかを倍率といい、ζで表す。つまり、f(p+t)=ζ･f(p)
普通、倍率ζは、t、pの値によって変わる。
この倍率ζの値がpに依存せず、tだけで決まる特別な場合を考える。つまりζ=ζ(t)
このとき、もちろん、f(p+t)=ζ(t)･f(p)
このような関数f(x)に対する倍率ζ(t)を指数関数という。らしい。

よよよ

fに連続性くらい欲しいような、、、？あとpとtの取り得る値の範囲もどうしたらいいかで、迷ってしまうし実数上で定義できるって指定した方がいいんですかね？

2022/09/28 返信

しーーーーーた

字数とわかりやすさの制約です...

しーーーーーた

何個か前の同じこと言ってる投稿の返信に、全く分からないと書かれてしまったので...

よよよ

よかったです！ありがとうございます！実質的には、実数上で定義されている連続な関数ζが任意のx、yに対して ζ（x＋y）＝ζ（x）ζ（y）を満たすならば、ある0以上の実数aが存在して、 ζ（x）＝a^x と書けるみたいな特徴づけが出来るってことですよね。線形性を満たす連続関数は1次間数しかないみたいに。こういった、関数方程式みたいな特徴づけは面白いですよね

しーーーーーた

コーシーの関数方程式ってやつですね!

よよよ

名前があるとは知らなかったです笑ありがとうございます！最初の定義は、この関数方程式とほとんど同じこといってるのに、fがある分、解読が大変ですね、、それだけ広げた意図はわからないですが、、、松坂さんの集合位相入門でかかれてたハメル基使えば、fの連続性が不可欠なのもたしかわかったはず

しーーーーーた

@よよよ：小島順先生の微積分入門という本を読んでいたら出てきたんですよ〜松坂先生の集合位相持ってるので見てみます!

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