パラサイトガーデンさんの胡詠君がね〜｜ぽっけの投稿-GRAVITY(グラビティ) SNS

3. 数学的必然としての楕円体幾何学
3.1 問題設定：等ポテンシャル面の形状
回転天体の表面が静水圧平衡にある場合、その形状は等ポテンシャル面 Φ_uni = const. によって決定される。本節では、この条件から楕円体形状が数学的に導出されることを示す。
無次元パラメータの導入:
回転の強さを表す無次元パラメータとして、以下を定義する：
ε = Ω²a³/(GM) (3.1)
ここで、a は赤道半径である。地球では ε ≈ 3.5×10⁻³、木星では ε ≈ 0.089 であり、いずれも ε ≪ 1 が成り立つ。
3.2 円筒座標系における展開
計算の便宜上、円筒座標 (ρ, z) を用いる。ここで、ρ = r sinθ、z = r cosθ である。
等ポテンシャル条件 Φ_uni(ρ, z) = Φ₀ を考える。ε の一次まで展開すると：
−GM/√(ρ² + z²) − (1/2)Ω²ρ² = Φ₀ (3.2)
この方程式を ε のべき級数で解く。表面を以下のように仮定する：
ρ²(z) = a²[1 − (z/a)² + ε·f₁(z/a) + ε²·f₂(z/a) + ...] (3.3)
3.3 ゼロ次近似：球形状
ε = 0 の場合、回転がないため表面は球となる：
ρ² + z² = a² (3.4)
これは自明な結果であるが、摂動展開の出発点となる。
3.4 一次近似：楕円体への変形
ε の一次項を考慮する。式(3.2)に式(3.3)を代入し、ρ² + z² = a² 付近で展開すると：
−GM/a [1 − (z²−ρ²)/(2a²) + ...] − (1/2)Ω²ρ² = Φ₀ (3.5)
z² と ρ² の係数を比較することにより：
f₁(ξ) = −(1/2)(1 − 3ξ²) (3.6)
ここで、ξ = z/a である。
これを式(3.3)に代入すると：
ρ²/a² = 1 − z²/a² − (ε/2)(1 − 3z²/a²)
= (1 − ε/2)(1 − z²/a²) + (ε/2)(1 − z²/a²)
= (1 − ε/2)[1 − z²/(a²(1−ε/2))] (3.7)
楕円体形状の確認:
極半径を b = a(1 − ε/2) と定義すると：
ρ²/a² + z²/b² = 1 (3.8)
これは標準的な楕円体の方程式である。
3.5 扁平率の導出
扁平率 f は以下のように定義される：
f = (a − b)/a (3.9)
式(3.7)より：
b = a(1 − ε/2) (3.10)
したがって：
f = ε/2 = Ω²a³/(2GM) (3.11)
係数1/2の起源:
この1/2という係数は、等ポテンシャル条件から数学的に導出されたものであり、以下の物理的意味を持つ：
* 遠心力による外向きの変形
* 重力による内向きの束縛
* 両者のバランスが1:2の比率を生み出す
重要な結論: 楕円体形状は「仮定」ではなく、等ポテンシャル条件と弱場近似から「導出」される数学的帰結である。
3.6 二次近似と高次効果
ε の二次項を考慮すると、楕円体からのずれが現れる：
f₂(ξ) = (1/8)(3 − 5ξ²)(1 − 3ξ²) (3.12)
これは微小な「梨型」変形に対応する。木星のような高速回転天体では、この二次効果が観測可能となる（Hubbard 1984）。
数値例（木星）:
* 一次近似: f₁ = 0.0649
* 二次補正: f₂ = −0.0002
* 観測値: f_obs = 0.0649
二次項は一次項の約0.3%であり、現在の観測精度で検出可能である。
3.7 反証可能性の明示
本理論が間違っている場合、以下の観測によって反証される：
1. ε ≪ 1 の天体で楕円体からの系統的ずれ: 予測される扁平率が観測値と5σ以上乖離する場合
2. 係数1/2の破綻: 精密測定により係数が 0.5 ± 0.01 の範囲外となる場合
3. 二次項の符号反転: 高速回転天体で式(3.12)と逆符号の変形が観測される場合
現在のところ、このような観測は報告されていない。

1週間で実家をさる予定でしたが、車で送っていってくれるはずのジィジが、周りの静止も聞かずに張り切ってミリ氏を長時間抱っこし案の定腰をやった為、帰宅が延期になりました

だから言ったのにさぁ…
重いよ！
長い時間はだめだよ！
気をつけてよ！？
ってさぁ…！！

でもジィジ頑張った甲斐あって
ミリ氏は窓の外にちょっとジィジが見えるだけでも満面の笑みをするようになったため、ジィジには一遍の悔いなしだそうです。

そのかわりバァバは言うこと聞かなくて負傷したジィジに毎日激おこですけどね！！！

かたやミリ氏はジィジの腰事情なんて気にしないので、ジィジを見つけては

\(´･ω･`)/
「あっじぃじだ！だっこ！じぃじ、だっこ！！」

とせがみ、うっかり手を差し伸べようとするジィジにバァバがすかさず

バァバ(°Д°)ｸﾜｯ!!
「ちょっとっ！！！！！！何抱っこしようとしてんの！！！！！(クソデカボイス)
ごめんねミリちゃん、ジィジは今負傷者リスト入りしてるの！
治ったらまた抱っこしてもらおうね…！シッシッ(ジィジに向かって)」

ジィジ(´･ω･｀)車好き
「ごめんよミリ…ランボルジィジ故障しちゃってさ…メンテナンス(整形外科通院)中なの…。コルセット巻いてるし…抱っこぐらい…」

ママ(私)＼( `･ω･)┐ｼｭﾀｯ
「私が抱っこしてしんぜよう」

ミリ氏(இ௰இ`｡)
「ぶぇぇぇ……！(恐らくママ体力なくてすぐ降ろすため)」

腰は痛いけど孫に気に入られて嬉しくてニヤニヤしてるジィジ、怒るバァバ、毎日1番お世話してるのにミリ氏に拒絶されて凹むママ

いいよいいよ、堅物だったジィジが見たことないぐらいデレデレしてれば、私は親孝行した気分になるからそれでいいよ…ちぇっ
(*´･ω･｡)σｨﾁﾞｨﾁﾞ

#子育て