仕事の帰りにふとこれが（下の問い）気になってAIに解かせてみた。まぁそうなるよね。単位円に並ぶ集合の全部が解になるもんね。

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スピカ

2025/08/17

仕事の帰りにふとこれが（下の問い）気になってAIに解かせてみた。まぁそうなるよね。単位円に並ぶ集合の全部が解になるもんね。

X^2+y^2=1が成り立つxとyが有理数
の解は無限に存在するか？またそれは可算無限か非加算無限か？

↓AIの回答
はい、方程式x^2+y^2=1を満たす有理数解は無限に存在します。そして、その無限は可算無限です。
無限に存在することの証明
x^2+y^2=1は単位円の方程式です。この円上の有理数点を求めるために、幾何学的な方法を用います。
* まず、1つの有理数解である点$(-1, 0)$を考えます。
* この点を通る傾きが有理数mの直線$y=m(x+1)$を考えます。
* この直線と円との交点を求めます。この交点の座標は、以下のように表すことができます。
x = \frac{1-m^2}{1+m^2}, \quad y = \frac{2m}{1+m^2}
ここで、mは任意の有理数です。有理数mをこの式に代入すると、必ず有理数解$(x, y)$が得られます。有理数は無限に存在するため、これに対応する有理数解も無限に存在します。
可算無限であることの証明
有理数の集合$\mathbb{Q}$は可算無限集合です。これは、すべての有理数を自然数と1対1に対応させることができるためです。
上で示したように、有理数解の集合は、傾きmの有理数の集合$\mathbb{Q}と1対1に対応させることができます（厳密には、点(-1, 0)$を除くすべての有理数解が対応します）。
有理数mを1つ選ぶごとに、1つの有理数解$(x,y)$が決定されます。
m_1 \to (x_1, y_1)
m_2 \to (x_2, y_2)
...
このように、有理数解の集合と有理数の集合との間に全単射（1対1対応）を構築できるため、有理数解の集合は有理数の集合と同じく可算無限です。

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